Capicuas com número par de dígitos e divisibilidade por 11
Em algumas culturas certas atitudes como medir distâncias em milhas, pés ou polegadas e escrever a data com o mês antes do dia são não apenas aceitáveis, como também fazem parte do padrão de comportamento das pessoas. Já em outras culturas as pessoas medem a distância em quilômetros, metros e centímetros e escrevem a data com o dia antes do mês. Além de ter mais facilidade para converter unidades de distância, bastando adicionar zeros ou mudar a vírgula de lugar; hoje pessoas que fazem parte do segundo grupo podem celebrar o dia 22/02/2022.
Com certeza alguém que você conhece não foi à faculdade vestido de beca para pegar o diploma de administração ou não tem um cachorrinho fofo o suficiente, por isso na ausência do que compartilhar nas redes sociais esta pessoa acabou informando que os números do dia de hoje formam um palíndromo: 22022022. Não só isso, mas se escrevermos os números com a fonte daqueles termômetros de rua a imagem forma um ambigrama, ou seja, uma imagem que fica igual de cabeça para baixo.
Ao receber a informação de que o dia de hoje é um palíndromo, você certamente fez o que qualquer cidadão com o mínimo de responsabilidade numérica faria: dividiu 22022022 por 11. O Resultado, 2002002, é um número inteiro e também um palíndromo, mas não é divisível por 11. Depois de passar o café da manhã dividindo palíndromos por 11 enquanto o leite amolecia o cereal e acabava com a crocância do alimento, você deve ter percebido que capicuas (palíndromos numéricos) com número par de dígitos são sempre divisíveis por 11. Mas por que isso acontece? Não se preocupe, seus problemas acabaram: este texto vai mostrar o motivo pelo qual isto acontece! Caso o seu problema seja outro este texto infelizmente não vai resolver seu problema, talvez seja o caso de você procurar outro profissional como um terapeuta, um encanador ou um proctologista. Inclusive talvez até outro problema surja em decorrência da leitura deste texto, como por exemplo seu jantar queimar porque você gastou muito tempo para lembrar propriedades das potências de 10, algo que, juntamente como o cereal amolecido no café da manhã, tornaria o seu dia-palíndromo uma experiência gastronomicamente muito desagradável, a ponto de você temer o que virá pela frente em 03/02/2030.
Mais do que falar sobre a prova matemática em si, vamos falar sobre métodos de raciocínio. Afinal a reflexão sobre como lidar com problemas e como usar a lógica para enfrentar situações é um legado da matemática muito mais importante do que propriamente dizer quais capicuas são divisíveis por quais números.
Uma história diz que certa vez uma pessoa foi desafiada a pegar um livro que estava no chão e colocar sobre uma mesa. Após olhar cuidadosamente para o livro e para a mesa, a pessoa recolheu o objeto do chão e o colocou em cima da mesa. Depois foi proposto um segundo desafio: pegar um livro que estava em uma estante e coloca-lo sobre a mesa. A pessoa então pensou por um tempo e cuidadosamente tirou o livro da estante e o colocou no mesmo ponto do chão em que o objeto se encontrava no primeiro desafio. Em seguida disse: “pronto, reduzi a situação a um problema para o qual eu sei a solução”.
Assim sendo, antes de demonstrar que capicuas com número par de dígitos são divisíveis por 11, vamos mostrar algo um pouco mais simples: O resultado da expressão 10ⁿ + 1 é divisível por 11 para qualquer valor ímpar de n.
Para mostrar que tal afirmação é verdadeira vamos reescrever a expressão 10ⁿ + 1 de modo que isso fique mais claro. Primeiro vamos reescrever 10ⁿ como sendo o produto de 10 por 10ⁿ ⁻ ¹ :
10ⁿ + 1 = 10*10ⁿ ⁻ ¹ + 1
Vamos reescrever o 10 que não está elevado a nenhuma potência como sendo a soma 9+1:
10ⁿ + 1 = (9+1)*10ⁿ ⁻ ¹ + 1
Aplicando a propriedade distributiva:
10ⁿ + 1 = 9*10ⁿ ⁻ ¹ + 10ⁿ ⁻ ¹ + 1
Vamos reescrever a expressão 10ⁿ ⁻ ¹ como sendo o produto de 10 por 10ⁿ ⁻ ²:
10ⁿ + 1 = 9*10ⁿ ⁻ ¹ + 10*10ⁿ ⁻ ² + 1
Vamos reescrever o 10 que não está elevado a nenhuma potência como sendo a soma 9+1:
10ⁿ + 1 = 9*10ⁿ ⁻ ¹ + (9+1)*10ⁿ ⁻ ² + 1
Aplicando a propriedade distributiva:
10ⁿ + 1 = 9*10ⁿ ⁻ ¹ + 9*10ⁿ ⁻ ² + 10ⁿ ⁻ ²+ 1
E vamos repetir o processo, sempre diminuindo uma unidade no expoente até chegar em 9*10¹+ 10¹:
10ⁿ + 1 = 9*10ⁿ ⁻ ¹ + 9*10ⁿ ⁻ ² + 9*10ⁿ ⁻ ³ + 9*10ⁿ ⁻ ⁴+ … +9*10⁴+ 9*10³+ 9*10²+9*10¹+10¹+1
Repare que, como n é ímpar, os valores n-2, n-4, n-6, … são todos ímpares, assim como os valores n-1, n-3, n-5, … são todos pares. Na expressão a seguir estão destacados os termos nos quais o número 10 está elevado a uma potência par:
10ⁿ + 1 = 9*10ⁿ ⁻ ¹ + 9*10ⁿ ⁻ ² + 9*10ⁿ ⁻ ³ + 9*10ⁿ ⁻ ⁴+ … +9*10⁴+ 9*10³+ 9*10²+9*10¹+10¹+1
Os termos destacados serão substituídos por potências ímpares, para isso o termo 10ⁿ ⁻ ¹ será substituído por 10*10ⁿ ⁻ ², 10ⁿ ⁻ ³ será substituído por 10*10ⁿ ⁻ ⁴ e assim por diante:
10ⁿ + 1 = 9*10*10ⁿ ⁻ ² + 9*10ⁿ ⁻ ² + 9*10*10ⁿ ⁻ ⁴ + 9*10ⁿ ⁻ ⁴ + … +9*10*10³+ 9*10³+ 9*10*10¹+9*10¹+10¹+1
Repare que agora podemos colocar fatores comuns em evidência em cada par de termos. Nos dois primeiros termos o fator comum é 9*10ⁿ ⁻ ², no terceiro e no quarto o fator comum é 9*10ⁿ ⁻ ⁴ e assim por diante. Vamos colocar os fatores comuns em evidência nos pares de termos:
10ⁿ + 1 = 9*10ⁿ ⁻ ²(10 + 1) + 9*10ⁿ ⁻ ⁴ (10 + 1)+ … + 9*10³(10 + 1) + 9*10¹(10 + 1) + 10 + 1
Repare que agora podemos colocar (10+1) em evidência:
10ⁿ + 1 =(10+1)*( 9*10ⁿ ⁻ ² + 9*10ⁿ ⁻ ⁴+ … + 9*10³ + 9*10¹ + 1)
10ⁿ + 1 =(11)*( 9*10ⁿ ⁻ ² + 9*10ⁿ ⁻ ⁴+ … + 9*1⁰³ + 9*1⁰¹ + 1)
Reescrevemos a expressão 10ⁿ + 1 como sendo o produto de 11 por um número inteiro, ou seja, provamos que a expressão 10ⁿ + 1 é divisível por 11. Porém, vale salientar que a expressão só é verdadeira para valores ímpares de n, pois se n fosse par não conseguiríamos agrupar todos os termos colocando (10 + 1) em evidência, ia “sobrar” um termo. Para atestar que 10ⁿ + 1 não é sempre divisível por 11 quando n é par basta usar n = 2 e constatar que 101 não é divisível por 11.
Agora vamos provar que uma capicua com número par de dígitos é divisível por 11. Para começar, vamos ver alguns exemplos de capicuas com número par de dígitos:
- 33
- 123321
- 22022022
-413978879314
De maneira geral podemos escrever uma capicua genérica com número par de dígitos como:
D₁D₂D₃D₄D₅…D₅D₄D₃D₂D₁
Onde cada letra D representa um dígito (D₁ é o primeiro dígito, D₂ o segundo dígito, D₃ o terceiro dígito e assim por diante).
No caso de 413978879314 temos: D₁=4, D₂=1, D₃=3, D₄=9, D₅=7 e D₆=8.
Podemos ainda interpretar o número 413978879314 da seguinte forma:
413978879314 = 4*10¹¹ + 1*10¹⁰ + 3*10⁹ + 9*10⁸ + 7*10⁷ + 8*10⁶ + 8*10⁵ + 7*10⁴ + 9*10³ + 3*10² + 1*10¹ + 4*10⁰
Analogamente, podemos reescrever a capicua genérica com número par de dígitos D₁D₂D₃D₄D₅…D₅D₄D₃D₂D₁ como sendo:
D₁*10ᴾ + D₂*10ᴾ ⁻ ¹ + D₃*10ᴾ ⁻ ² + D₄*10ᴾ ⁻ ³ + D₅*10ᴾ ⁻ ⁴ + … + D₅*10⁴ + D₄*10³ + D₃*10² + D₂*10¹ + D₁*10⁰
Repare que, pelo fato de o número de dígitos ser par, p é um número ímpar (lembre-se de considerar que há um termo 10⁰ e, se necessário, reveja o exemplo do número 413978879314, onde p vale 11). Os termos podem ser rearranjados da seguinte forma:
D₁*10ᴾ + D₁*10⁰ +D₂*10ᴾ ⁻ ¹ + D₂*10¹ +D₃*10ᴾ ⁻ ² + D₃*10² + D₄*10ᴾ ⁻ ³ + D₄*10³ + D₅*10ᴾ ⁻ ⁴ + D₅*10⁴ + …
Colocando os dígitos em evidência:
D₁*(10ᴾ + 10⁰) + D₂*(10ᴾ ⁻ ¹ + 10¹) + D₃*(10ᴾ ⁻ ² + 10²) + D₄*(10ᴾ ⁻ ³ + 10³)+ D₅*(10ᴾ ⁻ ⁴ + 10⁴) + …
Finalmente, vamos colocar em evidência os segundos termos das somas que estão dentro dos parênteses, fazendo a devida alteração no primeiro termo da soma que está dentro do parêntese:
D₁*(10ᴾ + 1) + D₂*10¹(10ᴾ ⁻ ² + 1) + D₃*10² (10ᴾ ⁻ ⁴ + 1) + D₄*10³ (10ᴾ ⁻ ⁶ + 1)+ D₅*10⁴ (10ᴾ ⁻ ⁸ + 1) + …
Repare que, como p é ímpar, p-2, p-4, p-6, p-8, … são todos ímpares. Dentro de cada parêntese está uma expressão do tipo 10ⁿ + 1, onde n é ímpar. Como já sabemos, este tipo de expressão é divisível por 11. Uma capicua com número par de dígitos nada mais é do que uma soma de vários termos todos divisíveis por 11, portanto a capicua com número par de dígitos é, também, divisível por 11.
Veja que o que fizemos foi reduzir um problema a uma situação para a qual sabíamos a solução. Fazendo uma analogia, provar que 10ⁿ + 1, onde n é ímpar, é divisível por 11 seria resolver o desafio de colocar o livro que está no chão em cima da mesa. Ao nos depararmos com o problema da divisibilidade de capicuas com número par de dígitos por 11 o que fizemos foi mostrar que este número é uma soma de expressões do tipo 10ⁿ + 1, onde n é ímpar, o que equivaleria a colocar o livro que estava na estante no chão para depois colocá-lo sobre a mesa.
Quem assistiu “Passa ou Repassa” na Infância sabe bem que a habilidade de demonstrar teoremas e adquirir cultura para responder perguntas de conhecimentos gerais pode até render o “Troféu Cara Limpa” caso a pessoa não leve nenhuma tortada na cara. Mas na vida, assim como no “Passa ou Repassas”, o que importa mesmo é a capacidade de se fazer de salsicha gigante e entrar em um grande pão enquanto os membros da sua família derrubam líquidos que simulam condimentos de um cachorro quente em você ou a habilidade de encher um copo acoplado em seu capacete até a marquinha vermelha no menor tempo possível, pois a prova do quadro final vale mais do que todas as outras. “Passa ou Repassa” não passa mais na TV (talvez até passe, mas ninguém sabe, porque ninguém assiste mais TV) e na ausência de programas dominicais com torta na cara e famílias emporcalhadas de líquidos roxos, espero que pelo menos este texto tenha cumprido o propósito de entreter o seu dia palíndromo (ou qualquer outro dia com data assimétrica no qual você esteja realizando sua leitura).
